Tensorprodukt

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Das Tensorprodukt ist ein universelles Objekt der multilinearen Algebra und somit ein vielseitiger Begriff der Mathematik: In der linearen Algebra und in der Differentialgeometrie dient es zur Beschreibung multilinearer Abbildungen, in der kommutativen Algebra und in der algebraischen Geometrie entspricht es einerseits der Einschränkung geometrischer Strukturen auf Teilmengen, andererseits dem kartesischen Produkt geometrischer Objekte.

Für einzelne Tensoren und Koordinatendarstellungen siehe Tensor. Für die basisfreie Konstruktion sei auf Tensorprodukt von Moduln verwiesen.

In der Physik bezeichnet man Elemente des Tensorprodukts

${\displaystyle \underbrace {V\otimes \dotsb \otimes V} _{r{\text{ Faktoren}}}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \dotsb \otimes V^{*}} _{s{\text{ Faktoren}}}}$

(für einen Vektorraum ${\displaystyle V}$ mit Dualraum ${\displaystyle V^{*}}$, oft ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{3}}$) als gemischte Tensoren, kontravariant der Stufe ${\displaystyle r}$ und kovariant der Stufe ${\displaystyle s}$. Man spricht kurz von Tensoren vom Typ ${\displaystyle (r,s)}$. So lassen sich lineare Abbildungen ${\displaystyle f\colon V\to W}$ als Tensoren aus ${\displaystyle V^{*}\otimes W}$ oder aber als Tensoren auf dem Dualraum ${\displaystyle V\otimes W^{*}}$ interpretieren. Wie sich diese zunächst verwirrende Vielfalt widersprüchlich erscheinender Auffassungen dem allgemeinen Verständnis von Tensoren unterordnet, erklären die Abschnitte über Homomorphismen als Tensoren und Tensoren vom Typ ${\displaystyle (r,s)}$.